점과 직선사이의 거리 공식 증명

점과 직선사이의 거리 공식

점과 직선사이의 거리 공식 증명

점과 직선사이의 거리 공식은

\[ d = \frac{| ax_1 + by_1 + c|}{ \sqrt{a^2 + b^2}} \]

입니다.

이 공식을 증명하기 위해서 아래 그림을 잘 관찰해 보세요.

\( ax + by + c \) 직선 그리기

먼저 좌표평면상에 \( ax + by + c = 0 \) 직선을 그립니다.
그리고 임의의 점 \( A (x_1, y_1 ) \) 에서 \( y \) 축과 평행한 직선을 그린 후 위 직선과의 교점을 \( B \) 라 합니다.

직선 위 임의의 점에서 삼각형 그리기

이제 직선 위에 있는 점 \( A’ \) 에서 \( x \) 축의 방향으로 1 만큼 \( y \) 축의 방향으로 \( – \frac{a}{b} \) 으로 작은 삼각형 \( A’ H’ B’ \)을 그려 줍니다. 이 삼각형은 \( △ AHB \) 와 닮음이 됩니다.

삼각형의 닮음비 이용

이제 두 삼각형의 닮음비를 이용해서 식을 정리해 봅니다.
\( \overline{A’H’} : \overline{AH} = \overline{A’B’} : \overline{AB} \) 이므로
\( \displaystyle 1:d = \sqrt{1+ \left ( \frac{a}{b} \right )^2} : \left | – \frac{a}{b} x_1 – \frac{c}{b} -y_1 \right | \) 가 성립 합니다. 내항의 곱과 외항의 곱이 같음으로 식을 정리하면

\( \displaystyle d = \frac{ \left | \frac{a}{b} x_1 + \frac{c}{b} + y_1 \right | }{ \sqrt{1 + \left( \frac{a}{b} \right )^2 }} = \frac{ax_1 + by_1 + c }{ \sqrt{a^2 + b^2}} \) 이 성립됨을 알 수 있습니다.

마무리

오늘은 점과 직선사이의 거리 공식을 증명해 보았습니다. 또 다른 재미있는 방법은 다음 기회에 소개 드릴께요.