원의 둘레와 넓이
원의 둘레와 넓이는 초등학교 과정에서 모두 배웠습니다.
오늘은 원의 넓이가 \( \pi r^2 \) 임을 증명하도록 하겠습니다.
원의 넓이 증명 방법 1
첫번째 방법은 가장 기본적인 증명 방법 입니다.
초등학교 교과서에서도 이 방법을 이용해서 원의 넓이 공식을 증명하고 있습니다.
원을 8등분, 16등분, 32등분, 64등분과 같이 계속 원을 잘게 쪼갭니다.
이렇게 쪼개진 원의 조각을 한조각은 위쪽에 한조각은 아래쪽에 끼워 맞추게 되면 점점 직사각형의 모양으로 만들어 집니다 .
이러한 작업을 무한히 반복하게 되면 이 사각형은 아래와 같은 직사각형의 도형이 됩니다.
이 직사각형에서 가로의 길이는 원의 둘레의 \( \frac{1}{2} \) 이므로 \( \pi r \) 이 되고 세로의 길이는 원의 반지름과 같으니 \( r \) 이 됩니다.
이제 사각형의 넓이를 구해보면
\[ S = \pi r \times r = \pi r^2 \]
으로 원의 넓이가 됨을 증명 하였습니다.
원의 넓이 증명 방법 2
두번째 방법 역시 쉬운 개념으로 원의 넓이를 증명하는 방법 입니다.
아래 원을 잘 관찰해 보세요.
아래 원을 일정한 간격으로 양파 껍질 까듯이 벗겨낸 다음 이걸 차례차례 쌓아 올립니다.
그럼 아래와 같은 직각삼각형 모양으로 쌓이게 됩니다.
이때 밑면의 길이는 원의 둘레의 길이와 같고 높이는 원의 반지름과 같게 됩니다.
즉 밑변의 길이는 \( 2 \pi r \) 이고 높이는 \( r \) 이 됩니다.
이제 이 삼각형의 넓이를 구해보면
\[ S = \frac{1}{2} \times 2 \pi r \times r = \pi r^2 \]
이 됨을 알 수 있습니다.
이로써 원의 넓이 공식을 증명하였습니다.
원을 쌓아 올릴때 아래와 같이 이등변 삼각형 형태로 쌓아 올릴 수도 있습니다.
이 역시 밑변의 길이와 높이는 변하지 않으므로 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
마무리
오늘은 원의 넓이를 기하학적으로 증명하는 글을 작성해 보았습니다. 아주 기본적인 공식인 원의 넓이 공식을 단순히 외우지만 말고 이해하면서 적용하면 좋을 것 같습니다.
