이번 포스팅은 고등과정 절대부등식 중 산술기하평균에 대한 기하학적 증명에 대한 내용입니다.
산술\( \cdot \)기하\( \cdot \)조화 평균의 관계
오늘은 이 중 산술평균, 기하평균의 부등식이 성립함을 기하학적인 방법으로 증명하도록 하겠습니다.
총 3가지 방법으로 산술기하평균의 부등식을 증명합니다.
첫번째 증명 방법
아래의 그림을 자세히 살펴 보세요.
직각 삼각형 \( ABD \) 에서 \( \overline{CD}^2 = \overline{AC} \times \overline{BC} \) 입니다.
즉 \( \overline{CD} = \sqrt{ab} \) 입니다.
점 \( O \) 는 반원의 중심이고 \( \overline{OE} \) 는 반지름의 길이 이므로 \( \overline{OE} \) 의 길이는 \( \frac{a+b}{2} \) 입니다.
점 \( C \) 가 지름 \( AB \) 위의 어느 지점에 있더라도 \( \overline{CD} \) 는 \( \overline{OE} \) 의 길이보다 커질 수 없음을 알 수 있습니다.
즉
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]
가 증명 되었습니다.
두번째 증명 방법
산술기하평균 절대 부등식의 두번째 증명 입니다.
일단 아래 그림을 잘 관찰해 보세요.
아래 그림에서 산술기하평균 부등식을 유도해야 합니다.
위 그림에서 산술기하평균 부등식이 성립함이 느껴 지나요?
전체 사각형의 넓이 = \( (a+b)^2 \) 입니다.
가운데 분홍색 사각형을 제외한 나머지 사각형의 넓이는 \( 4ab \) 입니다.
4개의 사각형은 \( ab \) 가 어떻게 변하더라도 전체 사각형의 넓이보다 커질수는 없습니다. 즉
\( (a+b)^2 \geq 4ab \) 이므로 \( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)
가 성립함을 알 수 있습니다.
세번째 증명 방법
세번째 증명 방법 입니다.
아래 그림을 잘 관찰해 보세요.
아래 그림에서 산술기하평균의 부등식을 유도해야 합니다.
위 그림을 잘 보면 큰 원과 작은원이 접하고 있습니다.
큰 원의 지름을 \( a \), 작은원의 지름을 \( b \) 라 하고 두원의 중심을 이은 선분을 빗변으로 하는 직각 삼각형을 보면
빗변의 길이는 \( \frac{a+b}{2} \) 입니다. 높이는 \( \frac{a-b}{2} \) 이므로 피타고라스 정리를 이용해서 밑변의 길이를 계산해 보면 \( \sqrt{ab} \) 가 됨을 알 수 있습니다.
밑변의 길이는 항상 빗변의 길이보다 짧기 때문에 아래의 부등식이 성립함을 알 수 있습니다.
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]
마무리
오늘은 산술기하평균을 기하학적인 방법으로 증명해 보았습니다.
기하학적 해석은 산술기하평균이 두 양 사이의 평균으로서의 의미를 시각적으로 이해하는 데 도움이 됩니다. 산술기하평균은 양의 상호작용을 보여주며, 이를 통해 다양한 수학적 응용에 활용됩니다.
산술기하평균을 기하학적으로 증명함으로써, 우리는 이 개념을 보다 깊게 이해할 수 있고, 수학의 아름다움을 발견할 수 있습니다. 이제 이러한 아이디어를 통해 다른 수학적 개념과의 관계를 탐구하고, 더 깊은 이해를 도모해보는 것이 좋을 것입니다.