사인법칙
사인법칙 증명
삼각형 \( ABC \) 의 외접원의 중심을 \( O \), 반지름의 길이를 \( R \) 이라 할 때, \( \angle A \) 의 크기에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나누어 사인법칙을 증명 할 수 있습니다.
i) \( A < 90° \) 일 때
위 그림과 같이 점 \( B \) 를 지나는 지름의 다른 한 끝 점을 \( A’ \) 이라 하면 원주각의 성질에 의하여 \( A = A’ \) 이고, \( \angle BCA’ = 90° \) 이므로
\( \displaystyle \sin A = \sin A’ = \frac{\overline{BC}}{\overline{A’B}} = \frac{a}{2R} \)
\( ∴ \displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R\)
ii) \( A = 90° \) 일 때
위 그림에서 \( \overline{BC} = a = 2R \) 이므로
\( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{\sin 90°}= 2R ( ∵ \sin 90° = 1 ) \)
iii) \( A > 90° \) 일 때
위 그림과 같이 점 \( B \) 를 지나는 지름의 다른 한 끝 점을 \( A’ \) 이라 하면 원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합은 \( 180° \) 이므로 \( A = 180° – A’ \) 이다. 또 \( \angle BCA’ = 90° \) 이므로
\( \displaystyle \sin A = \sin (180° – A’ ) = \sin A’ = \frac{\overline {BC}}{\overline {A’B}} = \frac{a}{2R} \)
\( \displaystyle ∴ \frac{a}{\sin A} = 2R \)
마무리
이렇게 \( \angle A \) 의 크기에 관계 없이 \( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R \) 가 항상 성립함을 보였습니다.
같은 방법으로 \( \displaystyle \frac{b}{\sin B} = 2R, \frac{c}{\sin C} = 2R \) 가 성립함을 보일 수 있습니다.